А. Есимов родился 15 декабря 1950 года в Алма-Атинской области. В период с 1994 по 1998 год занимал должности заместителя Премьер-Министра, Государственного секретаря, первого заместителя Премьер-Министра. В 1998 году назначен руководителем Администрации Президента РК. В этом же году перешел на дипломатическую работу, получив назначение Чрезвычайным и Полномочным Послом Республики Казахстан в странах Бенилюкса. С 2001 по 2008 год – министр сельского хозяйства, заместитель Премьер-Министра. С 2008 по 2015 год – аким Алматы.
Как ранее сообщалось, распоряжением Главы государства 9 августа 2015 года А. Есимов назначен председателем правления АО «НК «Астана ЭКСПО-2017».