Он родился на станции Киялы в Северо-Казахстанской области, где окончил школу, а потом поступил в Омский ветеринарный институт. Проходя практику на селе понял, что ветврачу необходима сила. Сам он был небольшого роста и веса, а потому выбрал занятия со штангой, после чего вскоре получил разряд и даже стал чемпионом института.
После окончания вуза Александр Данилович выбрал целину и приехал по комсомольской путевке в Кокшетау. Работал в областной ветеринарной лаборатории заведующим бактериологическим отделом. Устроился вроде неплохо, а вот базы для продолжения занятий тяжелой атлетикой не было. Сам нашел штангу, смастерил маленький помост и разместил свое железное хозяйство в раздевалке на стадионе «Торпедо». При этом его затею особо никто не приветствовал – в почете тогда были футболисты и хоккеисты.
Несмотря на все трудности, Кубрину удавалось тренироваться и успешно представлять Кокчетавскую область на республиканской арене. Он выполнил норматив мастера спорта СССР, становился чемпионом ДСО «Еңбек» и ДСО «Қайрат», чемпионом и рекордсменом Казахской ССР в легком весе. В 1962 году, выступая на Всесоюзных соревнованиях сельских спортсменов по тяжелой атлетике, занял 2-е место в легком весе. В этом же году, выступая в Ленинграде на Всесоюзных соревнованиях на призы им. В. Краевского, также стал вторым. За высокие показатели в спорте был награжден почетным знаком «Почетный член ДССО «Қайрат».
В 1965 году он был признан лучшим спортсменом года в Казахской ССР. Тогда же Комитет по физкультуре и спорту Совета Министров СССР присваивает Александру Даниловичу звание «Почетный мастер спорта СССР». Для получения такого звания необходимо было в течение 5 лет выполнять норматив мастера спорта СССР.
Впоследствии добивался многих высоких результатов, выступая в первенствах СССР. А чтобы в Кокшетау тяжелая атлетика получила развитие, на общественных началах тренировал группу молодых атлетов, которые впоследствии стали ведущими спортсменами и тренерами. В их числе были такие известные штангисты, как В. Пак, В. Андреев, А. Манызов, С. Урманов, В. Пяточенко, М. Варин, К. Семеринский, Р. Мухамеджанов и другие.
При этом Кубрин всегда совмещал активные занятия спортом с основной работой в ветеринарной лаборатории, где ему было присвоено звание «Заслуженный ветеринарный врач Казахской ССР» за неоценимый вклад в создание и становление ветеринарной службы в нашей области.